ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Фізика → Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Реферат на тему:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

КОСМІЧНА ФІЗИКА

Завданням цієї галузі науки є вивчення властивостей небесних тіл, міжпланетного, міжзоряного і міжгалактичного середовища на основі знань про найголовніші фізичні та хімічні властивості матерії. Один з її підрозділів — астрофізика займається встановленням у вигляді формул певних співвідношень між окремими параметрами зір і туманностей. Наприклад, визначають температуру надр зорі, якщо її маса і радіус відомі тощо. Результати знаходять шляхом розв\'язування (за допомогою ЕОМ) систем складних диференціальних рівнянь. Проте загальні співвідношення між згаданими параметрами можна дістати на підставі теорії розмірностей. Деякі з таких задач космічної фізики ми і розглянемо у цьому розділі.

КРИТЕРІЙ ДЖИНСА

За сучасними уявленнями зорі формуються з уламків газопилових хмар. Ще в 1902 р. Дж. Джинс довів, що нескінченно протяжна хмара не може перебувати у зрівноваженому стані дуже довго. Адже у міжзоряному середовищі неперервно виникають і поширюються найрізноманітніші хвильові рухи, зумовлені зіткненнями газопилових хмар. Відомо ж, що коли через певне середовище проходить збурення (звукова хвиля), то в ньому утворюються згущення і розрідження.

Нехай ρ — густина середовища, Т — температура, Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики — відповідна їй швидкість звуку в цьому середовищі (γ — відношення питомих теплоємностей, В — універсальна газова стала, μ — молекулярна маса). Джинс установив, що коли довжина хвилі λ звукового збурення менша деякого критичного значення λj, причому (G — гравітаційна стала)

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (1)

то сили пружності (тиск газу) у змозі повернути частинки середовища до первісного стану. Якщо ж λ > λj, то згущення, яке виникло, стає зародком конденсації і далі вже притягує до себе навколишню речовину. Стискуючись, такий фрагмент хмари (його об\'єм Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , маса Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики ) і стає протозорею, а пізніше — зорею у повному значенні цього слова.

Співвідношення (1) можна дістати і на підставі теорії розмірностей, використовуючи так звану П-теорему. Суть її можна сформулювати так. Нехай певна задача описується n параметрами A1, A2, ..., Аn, розмірності яких позначимо через [A1], [A2], ..., [Аn]. Припустимо, що m параметрів з них мають незалежні розмірності (наприклад, маса зорі [M] = кг, її розміри [R] = м). П-теорема стверджує, що зі згаданих n параметрів можна скласти Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики безрозмірних величин (\"комплексів\"), кожний з яких і буде з точністю до сталого коефіцієнта визначати певний закон природи. Розглянемо кілька прикладів, починаючи від критерію Джинса.

Як бачимо, задача про гравітаційну нестійкість туманності характеризується параметрами λ, G, ρ, а, розмірності яких можна записати так:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

де L - розмірність довжини, Т - часу, М - маси. Неважко зорієнтуватися, що з цих чотирьох параметрів задачі три мають незалежні розмірності. Тому відповідно до П-теореми з них можна скласти один безрозмірний комплекс: Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , де Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики - шукані показники степенів. Підставляючи розмірності кожного з параметрів, запишемо це співвідношення так:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (2)

Оскільки П — величина безрозмірна, то прирівнявши показники степенів до нуля, дістанемо систему алгебраїчних рівнянь

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

і їх розв\'язки:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Отже, безрозмірний комплекс має вигляд Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Розв\'язавши його відносно критичної довжини, знаходимо:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (3)

Як бачимо, теорія розмірностей дає змогу дістати залежність між параметрами задачі з точністю до множника, величина якого часто близька до одиниці.

Тут варто підкреслити, що величина λ, знайдена за формулою (3), може бути прийнятою за λj. Бо в комплексі (2) порівнюємо дві величини: гравітаційну енергію згустка U і його теплову енергію Е. Оскільки маса згустка Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , то потенціальна енергія Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики . Із свого боку, теплова енергія в розрахунку на одиницю маси Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики . Зіставивши величини U і Е, знаходимо, що Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , тобто здобутий раніше (з точністю до сталої величини) вираз (3).

ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ ЗОРІ

На окремих етапах розвитку зір певну роль відіграє таке джерело енергії, як гравітаційне стискування зорі, що супроводжується \"звільненням потенціальної енергії\". Залежність потенціальної енергії зорі від її параметрів – маси M і радіуса R можна знайти наближено.

Зорю, що має масу M і радіус R, розділимо уявно на дві рівні частини. Знайдемо роботу, яку треба витратити на відокремлення двох половинок на відстань Δr. Відомо, що робота дорівнює добуткові сили на пройдений шлях: Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики . Приймемо, що величина діючої сили дорівнює силі взаємного притягання, а її середнє значення на проміжку від R до 2R Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики рівне

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Поклавши, що Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , знаходимо

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Проте це ще не вся робота, яку можна здійснити над половинками зорі. По-перше, їх можна розсунути на більшу відстань, як кажуть, \"на нескінченність\". По-друге, кожну з цих половинок у свою чергу можна поділити пополам і також взаємно їх віддалити. Склавши всю виконану роботу над \"розпорошенням\" зорі, дістаємо формулу:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (1)

Підставивши числові значення усіх величин, знаходимо, зокрема для Сонця, Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Дж.

Під час стискування газової кулі (якщо тільки зорі утворюються з фрагментів газопилових хмар) маємо обернену картину: енергія не витрачається, а виділяється. І, як показує аналіз, майже половина її при цьому йде на розігрівання зорі, друга половина висвічується.

Формулу для величини потенціальної енергії зорі можна знайти і за допомогою теорії розмірностей. Задача характеризується чотирма параметрами з розмірностями:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики [M]=MЕлементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

так що лише три з них мають незалежні розмірності. Тому можна скласти один безрозмірний комплекс Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики . Або

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Звідси дістаємо систему алгебраїчних рінянь для визначення показників степенів

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

та їх розв\'язки x= –1, y= –2, z= 1.

Таким чином, безрозмірний комплекс має вигляд Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Розв\'язавши його відносно потенціальної енергії, маємо:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (1\')

А це і є шукана фурмула з точністю до сталої Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики .

Використаємо формулу (1) для U, щоб визначити, скільки речовини повинно випадати на Сонце щороку, щоб забезпечити його втрати енергії. Якщо світність Сонця Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики Дж, а в році налічується Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики с, то за рік Сонце втратить енергію Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики . Приріст потенціальної енергії за рахунок випадання на Сонце речовини знаходимо диференціюванням виразу для U по M при сталому значенні R:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

Оскільки за умовою виконується рівність Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики , то

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

і приріст маси dM визначається так:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики (2)