ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Закон великих чисел. граничні теореми теорії ймовірностей

Реферат на тему:

Закон великих чисел. граничнітеореми теорії ймовірностей

1. Закон великих чисел

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об\'єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю.

Закон великих чисел об\'єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

2. Нерівність Чебишова

Якщо випадкова величина Х має обмежені М (Х); D (Х), то ймовірність відхилення цієї величини від свого математичного сподівання, взятого за абсолютною величиною  ( > 0), не перевищуватиме величини: Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Це можна записати так:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .(328)

Доведення нерівності. Нехай випадкова величина Х є неперервна, закон розподілу ймовірностей якої f (х); M (Х), D (Х) — обмежені величини. Випадкові події Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей і Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей будуть протилежними (рис. 105).

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Рис. 105

А тому

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей (329)

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (а)

Отже, знаючи оцінку для Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей , ми згідно з (а), знайдемо оцінку і для Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Розглянемо нерівність:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (б)

Помноживши ліву і праву частини нерівності (б) на f (x)(f (x) > 0), дістанемо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (в)

Зінтегруємо праву і ліву частини нерівності (в) на проміжках Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей (г)

або Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (д)

Згідно з рис. 105 запишемо: Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей ,

оскільки

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

З огляду на те, що Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей маємо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Зрештою, нерівність (д) набере такого вигляду:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (е)

Отже,

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (330)

Підставивши оцінку для Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей (330) в (329), дістанемо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей , що й потрібно було довести.

Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу N (– 2; 4).

Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей , якщо  = 4.

Розв\'язання.

Оскільки a = – 2, x = 4, D (Х) = 16, то згідно з (328) маємо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Приклад 2. Імовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей , якщо  = 10.

Розв\'язання: За умовою задачі маємо: n = 400, p = 0,9; q = 0,1; = 10.

M (Х) = np = 400  0,9 = 360; D (Х) = npq = 360  0,1 = 36.

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

3. Теорема Чебишова

Нехай задано n незалежних випадкових величин X1, X2, ... Xn, які мають обмежені M (Хі)(і = 1,..., n) і дисперсії яких D(Хі) не перевищують деякої сталої С (С > 0), тобто D(Хі)  C. Тоді для будь-якого малого додатного числа  імовірність відхилення середнього арифметичного цих величин

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей ,

взятого за абсолютним значенням на величину , прямуватиме до одиниці зі збільшенням числа n:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

або

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей . (331)

!

Доведення. Оскільки Хі — випадкові величини, то і Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей буде випадковою. Числові характеристики для Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей :

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей ; Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Застосуємо нерівність Чебишова для випадкової величини Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей або Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Ураховуючи умову D(Хi)  C, записуємо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Тоді при n   дістаємо

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей .

Оскільки ймовірність не може бути більшою за одиницю, а нерівність є не строгою, одержимо

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

або Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

що й потрібно було довести.

Приклад 3. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.

Розв\'язання.

Використовуючи нерівність Чебишoва для теореми Чебишoва, одержимо:

Закон великих  чисел.  граничні теореми  теорії  ймовірностей

Приклад 4. Унаслідок медичного огляду 900 допризовників було виявлено, що середня маса кожного з них на 1,2 кг більша від середньої маси попереднього призову. Чи можна це констатувати як випадковість, якщо середнє відхилення маси допризовника дорівнює 8 кг?