ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Основні закони неперервних випадкових величин

Реферат на тему:

Основні закони неперервних випадкових величин

1. Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

f (х) = Основні закони неперервних  випадкових величин , –Основні закони неперервних  випадкових величин < x < , (257)

де а = М (X),  =  (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і  і називається загальним.

Тоді

F(x)=Основні закони неперервних  випадкових величин dx. (258)

Якщо а = 0 і  = 1, то нормальний закон називають нормованим.

У цьому разі

f (x)=Основні закони неперервних  випадкових величин – < x < , (259)

тобто f (x) = (x) є функцією Гаусса,

F(x) =Основні закони неперервних  випадкових величин dx. (260)

Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від параметрів а і  зображені на рис. 91 і 92.

Основні закони неперервних  випадкових величин Основні закони неперервних  випадкових величин

Рис. 91 Рис. 92

Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; f (a) = max, отже, Мо= а.

Із рис. 92 бачимо, що графік F(x) є неспадною функцією, оскільки f (x) = F(x) > 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.

Отже, Ме = а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0 або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.

Отже, для нормального закону Мо = Ме = а.

Зі зміною значень  при а = const змінюється крутизна кривих у околі значень X = а, що унаочнюють рис. 93 і 94.

Основні закони неперервних  випадкових величин Основні закони неперервних  випадкових величин

Рис. 93 Рис. 94

Для нормованого нормального закону графіки функцій f (x), F (x) зображено на рис. 95 і 96.

Основні закони неперервних  випадкових величин Основні закони неперервних  випадкових величин

Рис. 95 Рис. 96

Загальний нормальний закон позначають: N (a; ). Так, наприклад, N (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2,  = 4.

Нормований нормальний закон позначають N (0; 1).

1.1. Визначення Ме, Аs, Es

По визначенню медіани маємо F(Me)=Основні закони неперервних  випадкових величин dx = 0,5  Основні закони неперервних  випадкових величин

Для визначення As необхідно знайти 3.

Основні закони неперервних  випадкових величин

Основні закони неперервних  випадкових величин ,

оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування є симетричними відносно нуля. Таким чином, Основні закони неперервних  випадкових величин = 0, а отже, і As = 0.

Для визначення Еs необхідно знайти 4.

Основні закони неперервних  випадкових величин

Основні закони неперервних  випадкових величин

Отже, Основні закони неперервних  випадкових величин =3Основні закони неперервних  випадкових величин .

Тоді Еs = Основні закони неперервних  випадкових величин

Отже, доведено, що для нормального закону Аs = Es = 0 при будь-яких обмежених значеннях параметрів а і .

1.2. Формули для обчислення ймовірностей подій: Основні закони неперервних  випадкових величин

1) Основні закони неперервних  випадкових величин Основні закони неперервних  випадкових величин

Отже,

P(Основні закони неперервних  випадкових величин ) = Основні закони неперервних  випадкових величин . (261)

2) Основні закони неперервних  випадкових величин

Основні закони неперервних  випадкових величин

Отже,

Основні закони неперервних  випадкових величин . (262)

Для N (0, 1) формули (261), (262) наберуть такого вигляду:

Основні закони неперервних  випадкових величин

1.3. Правило трьох сигмдля нормального закону

Коли Основні закони неперервних  випадкових величин , то згідно з (262) маємо:

Основні закони неперервних  випадкових величин .

Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:

Основні закони неперервних  випадкових величин

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N (a; ), не потрапить у проміжок Основні закони неперервних  випадкових величин , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок проведення одного експерименту не здійсниться.

1.4. Лінійне перетворення для нормального закону

Нехай випадкова величина Х має закон розподілу N (a; ). Необхідно знайти f (y), якщо y = kx + b.

Оскільки М(Y) = М(kх + b) = kM (x) + b = ka + b.

D(Y) = D (kx + b) = k2D(x) = k2Основні закони неперервних  випадкових величин , (y) = Основні закони неперервних  випадкових величин , то щільність імовірностей випадкової величини Y буде мати вигляд:

f (y) = Основні закони неперервних  випадкових величин . (263)

Отже, при лінійному перетворенні випадкова величина Y також матиме нормальний закон зі значеннями параметрів

М(Y) = ka + b, Основні закони неперервних  випадкових величин .

Приклад 1. Відомо, що випадкова величина Х має закон розподілу N(– 4; 2).

Записати вирази для f (x), F(x) і накреслити їх графіки. Обчислити Р(– 6 < x < 3), P(Основні закони неперервних  випадкових величин < 4). Чому дорівнюють Мo, Ме, Аs, Es?

Розв\'язання.

Основні закони неперервних  випадкових величин

Графіки f (x), F(x) наведені на рис. 97 і 98.

Основні закони неперервних  випадкових величин Основні закони неперервних  випадкових величин

Рис. 97 Рис. 98

Використовуючи формули (261), (262), обчислюємо ймовірності:

1) Основні закони неперервних  випадкових величин

Основні закони неперервних  випадкових величин

2)Основні закони неперервних  випадкових величин

Основні закони неперервних  випадкових величин

Mo = Me = a = – 4; As = Es = 0.

Приклад 2. Випадкова величина Х має закон розподілу N (2; 5). Знайти f (y), якщо у = – 2х + 1. Обчислити Р(–2 < y < 5).

Розв\'язання. Оскільки М(Y) = М (kx + b) = kM(x) + b = – 2  2 + 1 = = – 3, D (Y) = D (kx + b) = k2D (x) = 4  25 = 100,  (y) = 10, то щільність імовірностей випадкової величини Y

Основні закони неперервних  випадкових величин

Імовірність події –2 < у < 5 така:

Основні закони неперервних  випадкових величин

Приклад 3. Задано Основні закони неперервних  випадкових величин Знайти М(у), kxy, якщо у = 2х2 – 3x + 5.

Розв\'язання. Оскільки М(Y) = М(2х2 – 3x + 5) = 2M(x2) – 3M(x) ++ 5; M(XY) = M(x (2x2 – 3x + 5)) = M(2x3 – 3x2 + 5x) = 2M(x3) – 3M(x2) ++ 5M(x) і при цьому М(х) = –1, М(x2) = D(x) + M2(x) = 1 + (–1)2 = 2, то нам необхідно лише знайти М(х3).