ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Основні закони цілочислових випадкових величин

Реферат на тему:

Основні закони цілочислових випадкових величин

Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід\'ємних значень Х = хk = 0, 1, 2, 3, ... .

Ці випадкові величини називають цілочисловими.

1. Імовірнісні твірні функції та їх властивості

Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією називають збіжний степеневий ряд виду:

Основні закони цілочислових випадкових величин . (231)

Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення k = 0, 1, 2, 3, ... .

Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості

  1. А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].

  2. При Х = 1 маємо:

Основні закони цілочислових випадкових величин ,

оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.

  1. Із (231) дістаємо

Основні закони цілочислових випадкових величин ,

де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення Х = k.

  1. Основні закони цілочислових випадкових величин .

При х = 1 дістанемо

Основні закони цілочислових випадкових величин .

Звідси

Основні закони цілочислових випадкових величин . (232)

5. Основні закони цілочислових випадкових величин .

При х = 1

Основні закони цілочислових випадкових величин

Це можна записати так:

Основні закони цілочислових випадкових величин

Тоді

Основні закони цілочислових випадкових величин

Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:

Основні закони цілочислових випадкових величин (233)

2. Біноміальний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

Основні закони цілочислових випадкових величин k = 0, 1, 2, 3, ..., n.(234 а)

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

Основні закони цілочислових випадкових величин

0

1

2

3

...

n

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

Основні закони цілочислових випадкових величин .

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію для цього закону

Основні закони цілочислових випадкових величин .

Отже, імовірнісна твірна функція для біноміального закону

Основні закони цілочислових випадкових величин . (234 b)

Знайдемо основні числові характеристики для цього закону:

  1. Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин ,

Основні закони цілочислових випадкових величин . (235)

  1. Основні закони цілочислових випадкових величин Основні закони цілочислових випадкових величин Основні закони цілочислових випадкових величин ; Основні закони цілочислових випадкових величин ;

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин ; (236)

Основні закони цілочислових випадкових величин . (237)

Приклад 1. У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити М (Х), D (X),  (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед 400 навмання взятих.

Розв\'язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу ймовірностей, яка може набувати значення

Х = k = 0, 1, 2, ..., 400.

Імовірності можливих значень обчислюються за формулою Бернуллі: Основні закони цілочислових випадкових величин , де р = 0,95 — імовірність появи стандартної деталі, q = 1 – p =1 – 0,95 = 0,05 — імовірність появи нестандартної деталі.

Згідно з (235), (236), (237), маємо:

Основні закони цілочислових випадкових величин = 400  0,95 = 380;

Основні закони цілочислових випадкових величин = 400  0,95  0,05 = 19;

Основні закони цілочислових випадкових величин =Основні закони цілочислових випадкових величин  4,36.

Приклад 2. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого сорту, а решта 2 — браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по одному виробу. Визначити М(Х), D (X),  (X) для дискретної випадкової величини Х — поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання взятих.

Розв\'язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу. Із умови задачі маємо:

n = 100, p = 0,8, q= 0,2, k = 0, 1, 2, 3, ..., 100.

За формулами (235), (236), (237) дістаємо:

Основні закони цілочислових випадкових величин = 100  0,8 = 80;

Основні закони цілочислових випадкових величин = 100  0,8  0,2 = 16;

Основні закони цілочислових випадкових величин =Основні закони цілочислових випадкових величин  4.

3.Пуассонівський законрозподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

Основні закони цілочислових випадкових величин , k = 0, 1, 2 ,3, ..., n, (238)

тобто обчислюється за формулою Пуассона, де Основні закони цілочислових випадкових величин . У табличній формі цей закон розподілу буде такий:

Х = k

0

1

2

3

...

n

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин

Основні закони цілочислових випадкових величин .

Умова нормування виконується.

Побудуємо ймовірну твірну функцію для цього закону:

Основні закони цілочислових випадкових величин .

Отже,

Основні закони цілочислових випадкових величин . (239)

Скориставшись (232), (233), дістанемо вирази для М (Х), D (X):

  1. Основні закони цілочислових випадкових величин ;

Основні закони цілочислових випадкових величин . (240)

  1. Основні закони цілочислових випадкових величин ;

Основні закони цілочислових випадкових величин ;

Основні закони цілочислових випадкових величин ; (241)

Основні закони цілочислових випадкових величин . (242)

Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей М (Х) = D (X) = а.

Приклад 3. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D (X),  (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із ладу під час роботи приладу.