ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

Реферат на тему:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

На одному й тому самому просторі елементарних подій  можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об\'єкт характеризується кількома випадковими параметрами. Так, у разі виготовлення валів такі їх параметри, як діаметр, довжина, овальність є випадковими величинами, значення яких наперед не можна передбачити. Або, скажімо, структура витрат випадково взятої окремої сім\'ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення духовних потреб також є випадковими величинами, визначеними на одному й тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

Означення. Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X1, X2, ..., Xn) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системоюnвипадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

1. Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = yi , X = xj та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

XБагатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин = xj

Y = yi

x1

x2

x3

...

xm

pyi

y1

p11

p12

p13

p1m

py1

y2

p21

p22

p23

p2m

py2

y3

p31

p32

p33

p3m

py3

...

...

...

...

...

...

...

yk

pk1

pk2

pk3

...

pkm

pym

pxj

px1

px2

px3

...

pxm

Тут використано такі позначення

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

Умова нормування має такий вигляд:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (108)

2. Основні числові характеристики для випадкових величин Х, Y,що утворюють систему (Х, Y)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (109)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (110)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (111)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (112)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

=Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (113)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (114)

3. Кореляційний момент.Коефіцієнт кореляціїта його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з\'ясовувати наявність зв\'язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (115)

У разі Κху= 0 зв\'язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κху  0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв\'язок існує.

Тісноту кореляційного зв\'язку характеризує коефіцієнт кореляції:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин (116)

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин , або Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин .

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κху = 0 і rху= 0. Рівність нулеві rху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо rху= 0, і корельованими, якщо rху  0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

Приклад 1. Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y):

ХБагатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин = хj

Y = yi

5,2

10,2

15,2

Pyi

2,4

0,1a

2a

0,9a

4,4

2a

0,2a

1,8a

6,4

1,9a

0,8a

0,3a

Pxj

Знайти а. Обчислити M (X); D (X);  (X); M (Y); D (Y);  (Y); Kху; rху; P (2,4  Y < 6,4; 5,2 < X  15,2).

Розв\'язання.

Скориставшись умовою нормування (108), дістанемо:

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин

Зі знайденим а закон системи набирає такого вигляду:

ХБагатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин = хj

Y = yi

5,2

10,2

15,2

Pyi

2,4

0,01

0,2

0,09

0,3

4,4

0,2

0,02

0,18

0,4

6,4

0,19

0,08

0,03

0,3

Pxj

0,4

0,3

0,3