ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Реферат на тему:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.

1. Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін \"математичне сподівання\" випадкової величини Х є синонімом терміна \"середнє значення\" випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . (75)

Якщо Ω — обмежена множина, то

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . (76)

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . (77)

Якщо Ω = (– ; ), то

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . (78)

Якщо Ω = [a; b], то

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості (79)

2. Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. (80)

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а томуМ (С) = С  1 = С.

2. М (СХ) = СМ (Х). (81)

Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості .

Для неперервної:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . (82)

Для дискретної випадкової величини:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості .

Для неперервної випадкової величини:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі

– 6

– 4

2

4

6

8

рі

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

Обчислити М (Х).

Розв\'язання. Скориставшись (76), дістанемо

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

обчислити М (Х).

Розв\'язання. Згідно із (79) маємо:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Приклад 3. Дано щільність імовірностей

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Обчислити М (Х).

Розв\'язання.

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Обчислити М (Х).

Розв\'язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Тоді:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Якщо випадкова величина Х  [а; b], то М (Х)  [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов\'язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

3. Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості (83)

Отже, медіану визначають із рівняння (83).

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв\'язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p1 = (0,2)3 = 0,008;

p2 = 3р q2 = 3  0,8  0,04 = 0,096;

p3 = 3p2q = 3  0,64  0,2 = 0,384;

p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

хі

0

1

2

3

рі

0,008

0,096

0,384

0,512

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Знайти а і F(x), Mo.

Розв\'язання.

За умовою нормування маємо:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Графік f(x) зображено на рис. 53.

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Рис. 53

Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.

Визначаємо Мe:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Отже,

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості (84)

або при Х  [а; b]: