ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Одновимірні випадкові величини

Реферат на тему:

Одновимірні випадкові величини

Поняття події в теорії ймовірностей являє собою абстрактну модель певної якісної ознаки, що відбиває лише два альтернативні судження: є подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина — абстрактної моделі кількісної ознаки.

1. Дискретні та неперервні випадкові величини.Закони розподілу їх імовірностей

Розглянемо такий простір елементарних подій, в якому кожній елементарній події Одновимірні випадкові величини Ώ відповідає одне і лише одне число х або набір чисел Одновимірні випадкові величини , тобто на множині Ώ визначена певна функція Одновимірні випадкові величини , яка кожній елементарній події Одновимірні випадкові величини ставить у відповідність певний елемент одновимірного простору R1 або n-вимірного простору Rn.

Цю функцію називають випадковою величиною. У разі, коли Одновимірні випадкові величини відображає множину Ώ на одновимірний простір R1, випадкову величину називають одновимірною. Якщо відображення здійснюється на Rn, то випадкову величину називають n-вимірною (системою n випадкових величин або n-вимірним випадковим вектором).

Схематично одновимірну випадкову величину унаочнює рис. 19.

Одновимірні випадкові величини

Рис. 19

Отже, величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого числового значення з певною ймовірністю.

Якщо множина можливих значень випадкової величини є зчисленною то таку величину називають дискретною. У противному разі її називають неперервною.

Приклад 1. Задано множину цілих чисел Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Навмання беруть одне число. Елементарними подіями будуть такі: поява одного з чисел Одновимірні випадкові величини 1, 2, 3, ...,10 з певною ймовірністю. Множина можливих значень Одновимірні випадкові величини є дискретною, а тому й випадкова величина — поява одного з чисел множини Ώ — буде дискретною.

Приклад 2. Вимірюється сила струму за допомогою амперметра. Результати вимірювання, як правило, округлюють до найближчої поділки на шкалі для вимірювання сили струму. Похибка вимірювання, що виникає внаслідок округлення, являє собою неперервну випадкову величину.

Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z, ... , а їх можливі значення — малими х; у; z, ... .

Для опису випадкової величини необхідно навести не лише множину можливих її значень, а й указати, з якими ймовірностями ця величина набуває того чи іншого можливого значення.

З цією метою вводять поняття закону розподілу ймовірностей.

Співвідношення, що встановляє зв\'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями, називають законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна задати в табличній формі або за допомогою ймовірнісного многокутника.

У разі табличної форми запису закону подається послідовність можливих значень випадкової величини Х, розміщених у порядку зростання, та відповідних їм імовірностей:

Х = хі

х1

х2

х3

......

хk

Р(Х = хі) = рі

р1

р2

р3

.....

рk

Оскільки випадкові події (Х = хj) і (Х = хm) є між собою несумісними ((Х = хі) ∩ (Х = хm) = , іОдновимірні випадкові величини m; і, m = 1, 2, ..., k) і утворюють повну групу Одновимірні випадкові величини , то необхідною є така умова:

Одновимірні випадкові величини (61)

Рівність (61) називають умовою нормування для дискретної випадкової величини Х. Наведену таблицю називають рядом розподілу.

Приклад 3. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею

Х = хі

–4

1

2

5

9

Р(Х = хі) = рі

0,1

0,1

0,5

р4

0,2

Знайти ймовірність можливого значення випадкової величини Х = х4 = 5.

Розв\'язання. Згідно з умовою нормування (61) маємо:

Одновимірні випадкові величини

Приклад 4. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею

Х = хi

2,5

3

4,5

5

5,5

6

Р(Х = хі) = рі

a

2а

а

3а

а

2а

Знайти ймовірності можливих значень випадкової величини Х: х1 = 2,5; х3 = 4,5; х4 = 5; х5 = 5,5; х6 = 6. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) Х < 3; 2) Х  3; 3) Х < 5; 4) X  5; 5) 2,5  X < 5,5; 6) X  5,5.

Розв\'язання. За умовою нормування (61) дістанемо:

Одновимірні випадкові величини Одновимірні випадкові величини

Отже, закон розподілу дискретної випадкової набуває такого вигляду:

Х = хі

2,5

3

4,5

5

5,5

6

Р(Х = хі) = рі

0,1

0,2

0,1

0,3

0,1

0,2