ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...


Реферат на тему:

Найпростіший потік подій

1. Означення потоку подій

Послідовність подій, що відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу, називається потоком подій.

Прикладами можуть бути потік викликів медичної швидкої допомоги, потік викликів на телефонну станцію, потік відказів у роботі певної системи і т. ін.

2. Найпростіший потік подій (пуассонівський)

Потік подій називається найпростішим, якщо для нього виконуються такі умови: стаціонарність, відсутність післядії і ординарність.

Потік подій називають стаціонарним, коли ймовірність того, що за проміжок часу Найпростіший потік подій відбудеться те чи інше число подій, залежить лише від довжини цього проміжку і не залежить від того, де міститься щодо початку відліку часу.

Якщо зазначена ймовірність не залежить від того, яке число подій відбулося до початку інтервалу Найпростіший потік подій такий потік називають потоком із відсутністю післядії.

Потік подій називають ординарним у разі, коли за малий проміжок часу Найпростіший потік подій імовірність того, що здійсниться одна подія, наближено пропорційна до довжини цього проміжку:

Найпростіший потік подій . (49)

При цьому Р1(0) = 0, а ймовірність того, що за цей проміжок відбудеться m > 1 подій, така:

Найпростіший потік подій ,

де

Найпростіший потік подій . (50)

Згідно із (49) маємо:

Найпростіший потік подій , (51)

зокрема Найпростіший потік подій .

3. Формула Пуассона

Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

Найпростіший потік подій

Найпростіший потік подій (52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

Найпростіший потік подій

Найпростіший потік подій (53)

оскільки Найпростіший потік подій .

Перенісши Найпростіший потік подій і Найпростіший потік подій в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:

Найпростіший потік подій (54)

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на Найпростіший потік подій і виконаємо граничний перехід при Найпростіший потік подій . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

Найпростіший потік подій ;

Найпростіший потік подій . (55)

Для розв\'язування системи (55) використаємо твірну функцію

Найпростіший потік подій . (56)

Розглянемо властивості функції А(х, t). При х = 1 А(1, t) = 1.

При х = 0 А(0, t) = p0(t), А(х, 0) = р0 (0) = 1,

Найпростіший потік подій . (57)

Помножимо друге рівняння системи (55) на хm і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:

Найпростіший потік подій .

або з урахуванням (56)

Найпростіший потік подій . (58)

Розв\'язавши диференціальне рівняння, дістанемо:

Найпростіший потік подій

Найпростіший потік подій , (59)

оскільки А(х, 0) = р0(0) = 1.

Згідно з властивістю А(x, t) маємо:

Найпростіший потік подій ;

Найпростіший потік подій .

Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою

Найпростіший потік подій , (60)

де Найпростіший потік подій — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром Найпростіший потік подій (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв\'язання. Із умови задачі:Найпростіший потік подій Найпростіший потік подій .

За таблицею (дод. 3), коли Найпростіший потік подій знаходять:

1) Найпростіший потік подій ;

2) Найпростіший потік подій

= Найпростіший потік подій

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.