ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Реферат на тему:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі —2n елементарних подій.

1. Формула Бернуллі

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з\'явиться m раз, подається у вигляді

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (29)

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з\'явиться від mі до mj раз, обчислюється так:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (30)

Оскільки

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі , (31)

дістанемо

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ; (32)

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (33)

Приклад 1. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.

Обчислити ймовірність того, що з п\'яти електролампочок, увімкнених у електромережу за схемою, наведеною на рис. 14, не перегорять: 1) дві; 2) не більш як дві; 3) не менш як дві.

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Рис. 14

Розв\'язання. За умовою задачі маємо: р = 0,9; q = 0,1; n = 5; m = 2. Згідно з (29), (32), (33) дістанемо:

1) Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ;

2) Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

= q5 + 5p q4 + 10p2 q3 = (0,1)5 + 5 0,9 (0,1)4 + 10 (0,9)2 (0,1)3= = 0,00001 + 5 0,9  0,0001 + 10  0,81  0,001 == 0,00001 + 0,00045 + 0,0081 = 0,00856;

3) Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

Приклад 2. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п\'яти верстатів; 3) принаймні один.

Розв\'язання. За умовою задачі маємо: p = 0,6; q = 0,4; n = 6; m = 3; Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ; Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

Згідно з (29), (30), (33), дістаємо:

  1. Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ;

  2. Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

=15 (0,6)2 (0,4)4 + 20 (0,6)3 (0,4)3 + 15 (0,6)4 (0,4)2+ 6 (0,6)5 0,4 == 15  0,36  0,0256 + 20  0,216  0,064 + 15  0,1296  0,16 + 6  0,07776  0,4 == 0,13824 + 0,27648 + 0,31104 + 0,186624 = 0,902384;

3) Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі = Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

2. Найімовірніше число появи випадкової події (мода)

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке число m0, для якого ймовірність Рn (m0) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад. Імовірність появи випадкової події А в кожному зn = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених імовірностей наведено в таблицi:

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Із таблиці бачимо, що при m = 4 імовірність набуває найбільшого значення, а саме Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . Отже, найімовірніше число появи події є m0 = 4.

Зауважимо, що для визначення найімовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях m = m0; m = m0 –1; m = m0 + 1 і розглянемо їх відношення:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ; (а)

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (б)

Об\'єднавши нерівності (а) і (б), дістанемо:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (34)

Число m0 називають також модою.

Приклад 1. У разі додержання певної технології 90% усієї продукції, виготовленої заводом, є найвищого сорту. Знайти найімовірніше число виробів найвищого сорту в партії з 200 штук.

Розв\'язання. За умовою задачі n = 200; р = 0,9; q = 1 – р = 0,1.

Використовуючи подвійну нерівність (34), дістаємо:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.

Приклад 2. Імовірність того, що студент складе іспит з математики, є величиною сталою і дорівнює в середньому 0,8. Нехай є група з восьми студентів. Знайти найімовірнішу кількість членів цієї групи котрі складуть іспит з математики, і обчислити відповідну ймовірність.

Розв\'язання. За умовою задачі n = 8; p = 0,8; q = 0,8.

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Отже, Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі ; Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі .

Доходимо висновку: найімовірніша кількість студентів, які складуть екзамен, m0 = 7. Відповідна ймовірність дорівнює 0,524288.

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m пов\'язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем Муавра—Лапласа.

3. Локальна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі , (35)

де Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі . (36)