ReferatFolder.Org.Ua — Папка українських рефератів!


Загрузка...

Головна Математика. Алгебра. Геометрія. Статистика → Залежні та незалежні випадкові події. умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Реферат на тему:

Залежні та незалежні випадкові події. умовна ймовірність, формули множення ймовірностей

1. Залежні та незалежні випадкові події

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них 6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З\'ясувати, чи удуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

Розв\'язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З\'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв\'язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

2. Умовна ймовірність та її властивість

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей . (17)

Аналогічно

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей . (18)

1. Р (А / В) = 0, якщо АВ = .

2. Р (А / В) = 1, якщо АВ = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

Приклад 1. Задана множина цілих чисел. Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Навмання беруть одне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним 3, коли відомо, що воно є непарним?

Розв\'язання. Нехай подія А — поява числа кратного 3, В — кратного 2.

Тоді А = (3, 6, 9, 12), m1 = 4;

В = (2, 4, 6, 8, 10, 12), m2 = 6;

АВ = (6, 12), m3= 2;

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ; Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ; Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ; Р (А / В) = Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Оскільки Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , то події А і В є залежними.

Умовну ймовірність Р (А / В) для цієї задачі можна обчислити й інакше. За умовою задачі відомо, що взяте навмання число, є непарним, тобто в цьому разі ми дістали додаткову інформацію: із множини Ώ беруться лише непарні числа. Отже, простір елементарних подій тепер має вигляд

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Елементарні події, що сприяють появі А, — появі числа, кратного 3, утворюють множину Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Отже,

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Приклад 2. Відомі значення:

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ; Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

З\'ясувати, чи є залежними випадкові події А і В.

Розв\'язання.

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Оскільки Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей то випадкові події А і В є залежними.

3. Формули множення ймовірностей для залежних випадкових подій

Згідно із (17) і (18) маємо:

Р (А В) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (19)

Формула множення для n залежних випадкових подій А1,А2, ... А4:

РЗалежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей = Р (А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) ... Р(Аn/ А1А2 ... Аn–1) (20)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три деталі виявляться стандартними;

2) В — усі три виявляться бракованими;

3) С — дві стандартні й одна бракована.

Розв\'язання. Нехай Аі — поява стандартної, Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей — бракованої деталі при і-му вийманні.

Подія Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей , Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ,

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Оскільки випадкові події Аі, є залежними, то:

Р(А) = Р(А1∩А2∩А3) = Р(А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) = Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей ;

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей

Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

Приклад 2. Із множини чисел Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 навмання беруть одне число, а далі з решти — друге. Яка ймовірність того, що здобуте двоцифрове число буде парним?

Розв\'язання. Позначимо через А1 — поява непарної цифри при першому вийманні, через В1 — поява парної цифри при першому, а через В2 — появу парної цифри при другому вийманні.

Нехай С — випадкова подія: поява парного двоцифрового числа.

Тоді С = (А1∩В2)  (В1∩В2).

Оскільки випадкові події А1, В1, В2 є залежними, то

Р (С) = Р (А1∩В2)  (В1∩В2) = Р(А1∩В2) + Р (В1∩В2) =

= Р (А1) Р (В2 / А1) + Р (В1) Р (В2 / В1) = Залежні та незалежні випадкові події.  умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей .

4. Формули множення ймовірностей для незалежних випадкових подій